课程名称：初等数论                         课程代码：02013

第一部分  课程性质与自考本科目标
一、课程性质与特点
《初等数论》是数学与应用数学专业的一门专业基础理论课程。初等数论是研究整数性质的一门源远流长的学科，它是数学中最古老的分支之一。它在很多数学分支以及科学领域如：密码学、计算数学、运筹学、计算机科学、通讯技术、试验设计、物理学、生物学等等都有重要应用。初等数论的相关内容与中小学数学知识联系十分密切。该学科的最大特点是理论易懂，习题难做，初等数论中许多问题的解决方法是利用构造的方法。
二、课程目标与基本要求
通过本课程的学习，要使学生掌握为进一步提高数学专业知识水平所必需的数论基本理论和基本方法，了解《初等数论》这门课程的性质、地位、研究对象、内容、研究方法、知识架构、学科进展、未来发展方向及数论在科学技术中的一些应用。理解这门课程的基本概念、基本概况，掌握这门课程中处理问题的一些基本方法和计算与证明的一些基本技巧。
通过本课程中整除理论、不定方程、同余、同余方程、二次同余式与平方剩余等内容的学习，培养并提高解决问题的能力，为后续课程的顺利学习提供保证，为今后学习、研究现代数学和从事数学教育工作奠定基础。
三、与本专业其他课程的关系
初等数论是数学教育专业中十分重要的一门课程，通过本课程的学习，可以培养学生良好的运算、证明及逻辑思维能力，养成勤于思考的好习惯，掌握初等数论的基本知识和基本思想方法。由于我国新一轮数学课程改革在选修系列4中设置了“初等数论选讲”这一专题，学好本课程对于数学教师专业知识的完善和发展十分重要。在学习本课程之前先期课程主要有《数学分析》、《高等代数》等，后续课程有《抽象代数》、《实变函数》、《泛函分析》等，通过本课程的学习能够更好地衔接数学教育专业的这些课程，为后续课程的学习打下良好的基础。

第二部分  考核内容与考核目标
第一章  整除理论
一、学习目的与要求
通过本章的学习，应该识记并理解整除、最大公因数、最小公倍数、互质、两两互质、质数的概念和性质，理解带余数除法和算术基本定理的意义及作用。掌握并能应用辗转相除法求最大公因数、最小公倍数。理解并掌握高斯函数及其基本性质，会判断一个正整数是否为质数，会解含[x]及{x}的方程、会求较小质数的标准分解式。
二、考核知识点与考核目标
（一）重点
整除、整除的性质、素数的性质、素数的相关定理、带余数除法、最大公约数（最大公因数）、最大公约数的性质、素数的性质的求法、最小公倍数的性质、最小公倍数的求法、辗转相除法的运用、算术基本定理、标准分解式、函数[ ]、函数{ }、函数[ ]和{ }的性质、 的质因数分解式。
识记：
整除、整除的性质、素数的性质、素数的相关定理、带余数除法、最大公约数（最大公因数）、最大公约数的性质、素数的性质的求法、最小公倍数的性质、最小公倍数的求法、辗转相除法的运用、算术基本定理、标准分解式、函数[ ]、函数{ }、函数[ ]和{ }的性质、 的质因数分解式。
理解：
整除、素数的性质、素数的相关定理、带余数除法、最大公约数（最大公因数）、最大公约数的性质、素数的性质的求法、最小公倍数的性质、最小公倍数的求法、算术基本定理、标准分解式、函数[ ]、函数{ }、函数[ ]和{ }的性质、 的质因数分解式。
应用：
整除、整除的性质、素数的相关定理、带余数除法、最大公约数、素数的性质的求法、最小公倍数、最小公倍数的求法、辗转相除法、辗转相除法的运用、标准分解式、函数[ ]和{ }的性质、 的质因数分解式。
（二）次重点
平凡约数、非平凡约数、公因数、两两互质、素数、最小公倍数、辗转相除法。
识记：
平凡约数、非平凡约数、公因数、两两互质、素数、最小公倍数、辗转相除法。
理解：
平凡约数、公因数、两两互质、最小公倍数、辗转相除法。
应用：
素数性质、最小公倍数、辗转相除法等的应用。
（三）一般
不整除、素约数、互质、合数。
识记：
不整除、素约数、互质、合数。
理解：
素约数、互质、合数。
应用：
素约数、互质、合数的应用。

第二章  不定方程
一、学习目的与要求
通过本章的学习，应该识记并理解不定方程的基本概念。熟练掌握二元一次不定方程的解法和勾股不定方程解的结构，掌握二元一次不定方程与多元一次不定方程解的关系，会解三元一次不定方程和简单的高次不定方程，会应用不定方程解某些实际问题。会解一些特殊的不定方程，了解无穷下降法的基本思想和基本方法。
二、考核知识点与考核目标
（一）重点
不定方程、整数解、特解、一般解、二元一次不定方程有解条件、二元一次不定方程解的一般形式、二元一次不定方程的解法、辗转相除法、逐步回代法、余数分析法、因数（式）分析法、不等分析法、勾股数、无穷递降法。
识记：
不定方程、整数解、特解、一般解、二元一次不定方程有解条件、二元一次不定方程解的一般形式、二元一次不定方程的解法、辗转相除法、逐步回代法、余数分析法、因数（式）分析法、不等分析法、勾股数、无穷递降法。
理解：
整数解、一般解、二元一次不定方程有解条件、二元一次不定方程解的一般形式、二元一次不定方程的解法、逐步回代法、余数分析法、因数（式）分析法、不等分析法、勾股数、无穷递降法。
应用：
二元一次不定方程的解法、辗转相除法、逐步回代法、余数分析法、因数（式）分析法、不等分析法、勾股数、无穷递降法的应用。
（二）次重点
丢番图方程、无解、任意解、三元一次不定方程有解条件、三元一次不定方程解的一般形式、三元一次不定方程的解法、观察法、显然解。
识记：
丢番图方程、无解、任意解、三元一次不定方程有解条件、三元一次不定方程解的一般形式、三元一次不定方程的解法、观察法、显然解。
理解：
丢番图方程、任意解、三元一次不定方程有解条件、三元一次不定方程解的一般形式、三元一次不定方程的解法。
应用：
丢番图方程、三元一次不定方程的应用。
（三）一般
 三元一次不定方程有解条件、 元一次不定方程解的一般形式、 元一次不定方程的解法、非显然解、本原解、有理点。
识记：
 三元一次不定方程有解条件、 元一次不定方程解的一般形式、 元一次不定方程的解法、非显然解、本原解、有理点。
理解：
 三元一次不定方程有解条件、 元一次不定方程解的一般形式、 元一次不定方程的解法。
应用：
 三元一次不定方程的应用。

第三章  同余
一、学习目的与要求
通过本章的学习，应该识记并掌握同余、同余式的基本概念及其基本性质。熟练掌握剩余类、完全剩余系、简化剩余系和欧拉函数的概念及其性质。熟练掌握欧拉定理、费马定理，并会运用这些定理证明某些同余问题。
二、考核知识点与考核目标
（一）重点
同余、同余的性质、同余性质的应用、完全剩余系、模 的完全剩余系的充要条件、完全剩余系的相关定理、完全剩余系的应用、 定理、简化剩余系、模 的简化剩余系的充要条件、模 的简化剩余系的相关定理、 函数、 函数的应用、 定理、 定理、 定理的应用、 定理的应用。
识记：
同余、同余的性质、同余性质的应用、完全剩余系、模 的完全剩余系的充要条件、完全剩余系的相关定理、完全剩余系的应用、 定理、简化剩余系、模 的简化剩余系的充要条件、模 的简化剩余系的相关定理、 函数、 函数的应用、 定理、 定理、 定理的应用、 定理的应用。
理解：
同余的性质、完全剩余系、模 的完全剩余系的充要条件、完全剩余系的相关定理、 定理、简化剩余系、模 的简化剩余系的充要条件、模 的简化剩余系的相关定理、 函数、 定理、 定理。
应用：
同余性质的应用、完全剩余系、完全剩余系的相关定理、完全剩余系的应用、 定理、简化剩余系、模 的简化剩余系的相关定理、 函数的应用、 定理的应用、 定理的应用。
（二）次重点
同余的记法、同余的等价形式、判断一个整数被3整除、判断一个整数被11整除、剩余类、不是模 的完全剩余系的判定、最小非负完全剩余系。
识记：
同余的记法、同余的等价形式、判断一个整数被3整除、判断一个整数被11整除、剩余类、不是模 的完全剩余系的判定、最小非负完全剩余系。
理解：
同余的等价形式、判断一个整数被3整除、判断一个整数被11整除、不是模 的完全剩余系的判定。
应用：
判断一个整数被3整除、判断一个整数被11整除、不是模 的完全剩余系的判定、最小非负完全剩余系的应用。
（三）一般
同余的读法、判断一个整数被7整除、判断一个整数被13整除、简化剩余类、绝对值最小完全剩余系、素因数的方法。
识记：
同余的读法、判断一个整数被7整除、判断一个整数被13整除、简化剩余类、绝对值最小完全剩余系、素因数的方法。
理解：
同余的读法、简化剩余类、绝对值最小完全剩余系、素因数的方法。
应用：
判断一个整数被7整除、判断一个整数被13整除的应用。

第四章  同余方程
一、学习目的与要求
通过本章的学习，应该熟练掌握一次同余式的解法。掌握孙子定理，会应用孙子定理求解简单同余式组。掌握高次同余式、质数模的同余式解的定理及其联系，同余式的次数与解的个数之间的关系，会解一些简单的高次同余式。
二、考核知识点与考核目标
（一）重点
同余方程、同余方程的解、一次同余方程的一般形式、一次同余方程的解法、一次同余方程是否有解的判定、孙子定理、孙子定理的应用、一般同余方程组的转化、高次同余式的解法、模 （ 为素数）同余方程的解法、费马定理化简高次质数模的同余方程、 定理、 定理、高次质数模的同余方程的相关定理、高次质数模的同余方程定理的应用。

识记：
同余方程、同余方程的解、一次同余方程的一般形式、一次同余方程的解法、一次同余方程是否有解的判定、孙子定理、孙子定理的应用、一般同余方程组的转化、高次同余式的解法、模 （ 为素数）同余方程的解法、费马定理化简高次质数模的同余方程、 定理、 定理、高次质数模的同余方程的相关定理、高次质数模的同余方程定理的应用。
理解：
同余方程的解、一次同余方程的一般形式、一次同余方程的解法、孙子定理、一般同余方程组的转化、高次同余式的解法、模 （ 为素数）同余方程的解法、费马定理化简高次质数模的同余方程、 定理、 定理、高次质数模的同余方程的相关定理。
应用：
一次同余方程的解法、一次同余方程是否有解的判定、孙子定理、 定理、 定理、高次质数模的同余方程的相关定理、高次质数模的同余方程定理的应用。
（二）次重点
一次同余式、模 同余方程、 次同余方程、同余方程的一个解、孙子定理的条件、高次同余式、高次同余式的解数。
识记：
一次同余式、模 同余方程、 次同余方程、同余方程的一个解、孙子定理的条件、高次同余式、高次同余式的解数。
理解：
同余方程的一个解、孙子定理的条件、高次同余式、高次同余式的解数。
应用：
一次同余式、模 同余方程、 次同余方程的应用。
（三）一般
 次同余方程的一般形式、不定方程的解法、一般同余方程组的解法、质数模、质数模的同余方程。
识记：
 次同余方程的一般形式、不定方程的解法、一般同余方程组的解法、质数模、质数模的同余方程。
理解：
 次同余方程的一般形式、一般同余方程组的解法、质数模的同余方程。
应用：
 次同余方程、一般同余方程组的应用。

第五章  二次同余式与平方剩余
一、学习目的与要求
通过本章的学习，应该理解一般二次同余式的化简过程。识记并理解平方剩余、平方非剩余的概念及其相关性质，熟练掌握奇质数的平方剩余和平方非剩余的欧拉判别条件，会求素数模的平方（非）剩余。正确理解勒让德符号和雅可比符号的概念、区别和联系，会应用二次互反律等性质求平方（非）剩余。掌握合数模二次同余式有解的条件和解的个数定理，会求合数模的二次同余式。
二、考核知识点与考核目标
（一）重点
二次同余方程、欧拉判别法则、 是模 的二次非剩余的充要条件、二次剩余的个数、 定理、 符号、 符号的性质、 符号的应用、二次互反律、 （ 是奇素数）、 （ 是奇素数）、 （ 是奇素数）、二次互反律的应用、判定素数模的二次同余方程的可解性的步骤、 符号、 符号的性质、 符号的应用、质数模的二次同余方程、质数模的二次同余方程的解法、合数模的同余方程。
识记：
二次同余方程、欧拉判别法则、 是模 的二次非剩余的充要条件、二次剩余的个数、 定理、 符号、 符号的性质、 符号的应用、二次互反律、 （ 是奇素数）、 （ 是奇素数）、 （ 是奇素数）、二次互反律的应用、判定素数模的二次同余方程的可解性的步骤、 符号、 符号的性质、 符号的应用、质数模的二次同余方程、质数模的二次同余方程的解法、合数模的同余方程。
理解：
二次同余方程、欧拉判别法则、 是模 的二次非剩余的充要条件、二次剩余的个数、 定理、 符号、 符号的性质、 符号的应用、判定素数模的二次同余方程的可解性的步骤、 符号、 符号的性质、质数模的二次同余方程、质数模的二次同余方程的解法、合数模的同余方程。
应用：
二次互反律、 （ 是奇素数）、 （ 是奇素数）、 （ 是奇素数）、二次互反律的应用、 符号的应用。
（二）次重点
二次同余方程一般形式、二次剩余、平方剩余、二次非剩余、平方非剩余、二次非剩余的个数、 符号与 符号的联系、合数模的同余方程的解法。
识记：
二次同余方程一般形式、二次剩余、平方剩余、二次非剩余、平方非剩余、二次非剩余的个数、 符号与 符号的联系、合数模的同余方程的解法。
理解：
二次同余方程一般形式、二次剩余、二次非剩余、二次非剩余的个数、 符号与 符号的联系、合数模的同余方程的解法。
应用：
二次剩余、合数模的同余方程的应用。
（三）一般
二次互反律的证明、 符号与 符号的区别、合数模的同余方程的解数。
识记：
二次互反律的证明、 符号与 符号的区别、合数模的同余方程的解数。
理解：
二次互反律的证明、 符号与 符号的区别。
应用：
模的同余方程的应用。

第三部分  有关说明与实施要求

一、考核的能力层次表述
本大纲在考核目标中，按照“识记”、“理解”、“应用”三个能力层次规定应达到的能力层次要求。各能力层次为递进等级关系，后者必须建立在前者的基础上，其含义是：
识记：能知道有关的名词、概念、知识的含义，并能正确认识和表述，是低层次的要求。
理解：在识记的基础上，能全面地把握基本概念、基本原理、基本方法，能掌握有关概念、原理、方法的区别与联系，是较高层次的要求。
应用：在理解的基础上，能运用基本概念、基本原理、基本方法联系学过的多个知识点分析和解决有关理论问题和实际问题，是最高层次的要求。

二、教材
1、指定教材：《初等数论》，科学出版社，胡典顺，徐汉文，2010，第一版。
2、参考教材：初等数论，北京大学出版社，潘承洞，潘承彪，2003，第二版。

三、自学方法指导
1、在开始阅读指定教材某一章之前，先翻阅大纲中有关这一章的考核知识点几对知识点的能力层次要求和考核目标，以便在阅读教材时做到心中有数，有的放矢。
2、阅读教材时，要逐段细读，逐句推敲，集中精力，吃透每一个知识点，对基本概念必须深刻理解，对基本原理必须彻底弄清，对基本方法必须牢固掌握。
3、在自学过程中，既要思考问题，也要做好阅读笔记，把教材中的基本概念、原理、方法等加以整理，这可从中加深对问题的认知、理解和记忆，以利于突出重点，并涵盖整个内容，可以不断提高自学能力。
4、完成书后作业和适当的辅导练习是理解、消化和巩固所学知识，培养分析问题、解决问题及提高能力的重要环节，在做练习之间，应认真阅读教材，按考核目标所要求的不同层次，掌握教材内容，在练习过程中对所学知识进行合理的回顾与发挥，注重理论联系实际和具体问题具体分析，解题时应注意培养逻辑性，针对问题围绕相关知识进行层次（步骤）分明的论述或推导，明确各层次（步骤）见的逻辑关系。

四、对社会助学的要求
1、应熟知考试大纲对课程提出的总要求和各章的知识点。
2、应掌握各知识点要求达到的能力层次，并深刻理解对各知识点的考核目标。
3、辅导时，应以考试大纲为依据，指定的教材为基础，不要随意增删内容，以免与大纲脱节。
4、辅导时，应对学习方法进行指导，宜提倡“认真阅读教材，刻苦钻研教材，主动争取帮助，依靠自己学通”的方法。
5、辅导时，要注意突出重点，对考生提出问题，不要有问即答，要积极启发引导。
6、注意对应考者能力的培养，特别是自学能力的培养，要引导考生逐步学会独立学习，在自学过程中善于提出问题，分析问题，做出判断，解决问题。
7、要使考生了解试题的难易与能力层次高低两者不完全是一回事，在各个能力层次中会存在着不同难度的试题。
8、助学学时：本课程共5 学分，建议总课时90 学时，其中助学课时分配如下：
章   次 内      容 学   时
第1章  整除理论 20
第2章 不定方程 14
第3章 同余 18
第4章 同余方程 18
第5章 二次同余式与平方剩余 20
合     计 90

五、关于命题考试的若干规定
1、本大纲各章所提到的内容和考核目标都是考试内容。试题覆盖到章，适当突出重点。
2、试卷中对不同能力层次的试题比例大致是：“识记”为 20  %左右、 理解”为 30  %左右、“应用”不低于 50 %。
3、试题难易程度应合理：易、较易、较难、难比例为2：3：3：2。
4、每份试卷中，各类考核点所占比例约为：重点占60%，次重点占25%，一般占10%。
5、试题类型一般分为：单项选择题、填空题、判断说明题、计算题和证明题。
6、考试采用闭卷笔试，考试时间150分钟，采用百分制评分，60分合格。

六、题型示例（样题）

一．单项选择题
1．下列结论中不正确的是            【   】
A．若 ，则 或 ．   B．若 ，则 或 ．
C．若 且 ，则 ．   D．若 ，则 或 ．

二．填空题
2.同余方程 的解是               ．

三．判断说明题
3.若 ，则 ．

四．计算题
4.解同余式组 ．

五．证明题
5.若 是任意实数，求证： ．