课程名称：实变与泛函分析初步                         课程代码：2012

第一部分  课程性质与自考本科目标
一、课程性质与特点

《实变函数》课程是数学与应用数学专业的一门专业基础理论课程，同时也是现代数学的重要基础课程，是古典分析与现代分析之间的一座桥梁。它的研究对象仍然是定义在一般集合上的实函数，而采用的思想和方法是集合论的思想和方法。它的中心任务是建立勒贝格（Lebesgue）测度理论和较之传统积分理论更为优越的勒贝格（Lebesgue）积分理论。

二、课程目标与基本要求

通过本课程的学习，初步了解近代抽象分析的基本思想；掌握勒贝格（Lebesgue）测度概念和基本性质、可测集类；掌握可测函数的基本概念与基本性质、依测度收敛的可测函数列及其性质；了解可测函数列几乎处处收敛与一致收敛的关系、可测函数列依测度收敛与几乎处处收敛的关系、可测函数与连续函数的关系；掌握勒贝格积分的基本思想、基本性质以及勒贝格积分极限定理及其应用；了解绝对连续函数的可微性和牛顿-莱布尼兹公式。
通过本课程的学习，培养并提高用现代数学的思想方法分析、解决问题的能力，为后续课程的顺利学习提供保证，为今后学习、研究现代数学和从事数学教育工作奠定基础。

三、与本专业其他课程的关系

本课程是数学与应用数学专业基础课程之一，它的先行课程是《数学分析》，而概率论与数理统计、泛函分析、分形几何、微分方程与动力系统、偏微分方程等都是与它有着密切联系的后续课程。其中《数学分析》是学习本课程的基础，而本课程又是进一步学习概率论与数理统计、泛函分析、分形几何、微分方程与动力系统、偏微分方程等课程的基础。

第二部分  考核内容与考核目标

第一章  集合
一、学习目的与要求

通过本章的学习，应理解集合的概念，熟练掌握集合的并、交、差、余这四种基本运算，掌握集合列的极限运算；了解康托假设的含义，理解一一映射、集合对等与势(基数)的概念，掌握证明集合对等的基本方法；理解可数集与不可数集的概念、熟练掌握基本性质以及判别方法；掌握n维欧氏空间 中集合的聚点、内点、外点、边界点的概念及互相之间的关系；了解并掌握开集、闭集、完备集的定义及性质，以及直线上开集、闭集、完备集的构造；掌握康托集的构造和康托集的基本性质。

二、考核知识点与考核目标

（一）重点
集合的概念、集合的表示、子集、真子集；集合的并、交、余、D.Morgan法则、集合的直积；上限集、下限集、极限集、单调集列及其极限集；单射、满射、一一映射、映射基本性质、集合的势、对等、对等基本性质、基数、基数的比较、伯恩斯坦定理；可数集、可数集性质、有理数集；不可数集存在性、连续集及其性质、不存在基数最大的无限集； 中的距离、邻域、区间、开球、闭球、球面；开集、开集性质、内点、内核、边界点、边界；收敛点列、聚点、聚点的等价定义、孤立点、孤立点集、导集、闭集、闭集性质； 集合、 集合、 集合和 集合的性质、Borel集； 中开集与闭集的构造、 中开集与闭集的构造。
识记：
集合的概念、集合的表示、子集、真子集；集合的并、交、余、D.Morgan法则、集合的直积；上限集、下限集、极限集、单调集列及其极限集；单射、满射、一一映射、集合的势、对等、对等基本性质、基数、基数的比较、伯恩斯坦定理；可数集、可数集性质、有理数集；不可数集存在性、连续集及其性质、不存在基数最大的无限集； 中的距离、邻域、区间、开球、闭球、球面；开集、开集性质、内点、内核、边界点、边界；收敛点列、聚点、孤立点、孤立点集、导集、闭集、闭集性质、 集合、 集合、 集合和 集合的性质、Borel集； 中开集与闭集的构造、 中开集与闭集的构造。
理解：
集合的表示、子集、真子集；集合的并、交、余、D.Morgan法则、集合的直积；上限集、下限集、极限集、单调集列及其极限集；一一映射、映射基本性质、集合对等的基本性质、基数的比较、伯恩斯坦定理；可数集、可数集性质、有理数集；不可数集存在性、连续集及其性质； 中的距离、邻域、开球、闭球、球面；开集、开集性质、内点、内核、边界点、边界；聚点、聚点的等价定义、孤立点、孤立点集、导集、闭集、闭集性质；  集合和 集合的性质、Borel集； 中开集与闭集的构造、 中开集与闭集的构造。
应用：
集合的并、交、余、D.Morgan法则；上限集、下限集、单调集列及其极限集；一一映射、映射基本性质、集合对等的基本性质、伯恩斯坦定理；可数集、可数集性质；连续集及其性质； 中的距离、邻域、开球、闭球；开集、开集性质、内点、内核、边界点、边界；聚点、聚点的等价定义、孤立点、孤立点集、导集、闭集、闭集性质；  集合和 集合的性质、Borel集； 中开集与闭集的构造、 中开集与闭集的构造。

（二）次重点
完全集；开集与闭集构造的定理；开集与闭集构造的简单应用。
识记：
完全集；开集与闭集构造的定理。
理解：
完全集；开集与闭集构造的定理的含义。
应用：
开集与闭集构造的简单应用。

（三）一般
集合族（类）、环与 环、代数（域）与 代数（域）；环、 环、代数（域）、 代数（域）之间的关系；稠密集、疏朗集； 中集合之间的距离以及集合之间距离的可达性， 中闭集的隔离性；集合的特征函数、特征函数性质以及集合在研究函数性质中的简单应用。
识记：
集合族（类）、环与 环、代数（域）与 代数（域）；稠密集、疏朗集； 中集合之间的距离； 中闭集的隔离性；集合的特征函数。
理解：
环、 环、代数（域）、 代数（域）之间的关系；稠密集、疏朗集； 中集合之间的距离以及集合之间距离的可达性， 中闭集的隔离性；集合的特征函数、特征函数性质。
应用：
集合在研究函数性质中的简单应用。

第二章  测度论
一、学习目的与要求

通过本章的学习，应了解建立可测集及测度的过程和步骤，理解外测度的概念和它的不足，进而理解建立测度的必要性；理解可测集的测度是区间长度的推广，熟练掌握测度的基本性质：（1）非负性、（2）单调性、（3）完全可加性，即一列互不相交的可测集合的并的测度等于每个可测集的测度之和；熟练掌握可测集和可测集列的基本性质；了解可测集合类，掌握可测集合与开集、闭集和Borel集的关系。

二、考核知识点与考核目标

（一）重点
外测度的定义；外测度的基本性质，即非负性、单调性、次可加性；可测集的定义、可测集的等价条件；可测集的基本性质，即可测集的并、交、余，可测集的可数可加性，可测集列的极限性质；可测集的判别方法；常见的可测集类，即零测集、区间、开集、闭集、Borel集等；可测集与Borel集的几种关系，即 集与可测集、 集与可测集，可测集与Borel集的关系。
识记：
外测度的定义；外测度的基本性质；可测集的定义；可测集的基本性质；常见的可测集类；可测集与Borel集的几种关系。
理解：
外测度的定义；外测度的基本性质以及简单的应用；可测集的定义及等价条件；可测集的基本性质及性质的简单应用；常见的可测集类；可测集与Borel集的几种关系。
应用：
外测度的基本性质以及简单的应用；可测集的定义及等价条件及可测集的判别方法；可测集的基本性质及性质的简单应用；常见的可测集类；可测集与Borel集的几种关系。

（二）次重点
勒贝格（Lebesgue）外测度的分离性；外测度与测度的计算；可测集与Borel集之间几种关系的简单应用。
识记：
勒贝格（Lebesgue）外测度的分离性；几类典型集合的外测度或测度。
理解：
勒贝格（Lebesgue）外测度的分离性；几类典型集合的外测度或测度的计算步骤。
应用：
可测集与Borel集之间几种关系的简单。

（三）一般
乘积空间与乘积测度。
识记：
乘积空间与乘积测度。
理解：
乘积测度的计算公式。
应用：
乘积测度的计算公式的简单应用。

第三章  可测函数
一、学习目的与要求

通过本章的学习，应了解建立可测函数概念的步骤和过程，即先定义非负简单函数，再用非负简单函数的极限定义非负可测函数，最后用集合的可测性定义一般的可测函数；理解几乎处处的概念；理解并熟练掌握可测函数的基本性质，即可测函数的和、差、积、商是可测函数，可测函数的上确界、下确界及可测函数的极限是可测函数；理解可测函数列依测度收敛的概念；掌握可测函数列的几种收敛之间的关系，即依测度收敛与几乎处处收敛的关系、几乎处处收敛与一致收敛的关系；理解并掌握可测函数与连续函数的关系。

二、考核知识点与考核目标

（一）重点
简单函数、非负可测函数、一般可测函数的定义及可测函数的等价定义；可测函数的简单性质，比如：几乎处处性，可测函数的和、差、积、商，函数的正部、负部的可测性，可测函数列的上确界、下确界，可测函数列的极限的可测性；可测函数与简单函数的关系；可测函数列的几种收敛（几乎处处收敛，依测度收敛）的含义，可测函数的几种收敛性的关系，比如：几乎处处收敛与一致收敛的关系（包括依果洛夫（Egoroff）定理、依果洛夫逆定理）、几乎处处收敛与依测度收敛的关系、依测度收敛的性质、勒贝格（Lebesgue）定理、黎斯（Riesz）定理；可测集上的连续函数、鲁津（Lusin）定理及逆定理、可测函数与连续函数的关系，直线上连续函数的延拓。
识记：
简单函数、非负可测函数、一般可测函数的定义及可测函数的等价定义；可测函数的简单性质；可测函数与简单函数的关系；可测函数列的几种收敛的含义；依测度收敛的性质、勒贝格定理、黎斯定理；鲁津定理及逆定理、可测函数与连续函数的关系。
理解：
可测函数的简单性质；可测函数与简单函数的关系；可测函数的几种收敛性的关系；依测度收敛的性质、勒贝格（Lebesgue）定理、黎斯（Riesz）定理；可测集上的连续函数、鲁津（Lusin）定理及逆定理、可测函数与连续函数的关系，直线上连续函数的延拓。
应用：
可测函数的判别方法；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理以及鲁津定理及逆定理的简单应用，依测度收敛的性质的简单应用。

（二）次重点
可测函数与简单函数关系的证明思路；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的证明思路；鲁津定理的证明思路。
识记：
可测函数与简单函数关系的的条件和结论；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的条件和结论；鲁津定理及逆定理的条件和结论。
理解：
可测函数与简单函数关系的证明思路；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的证明思路；鲁津定理及逆定理的证明思路。
应用：
依果洛夫定理、依果洛夫逆定理以及鲁津定理的进一步应用。

（三）一般
函数可测的进一步判断；可测函数与简单函数关系的证明；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的证明；鲁津定理及逆定理的证明；依测度收敛的判断及依测度收敛性质的进一步应用。
识记：
可测函数与简单函数关系；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理；鲁津定理及逆定理。
理解：
可测函数与简单函数关系的证明；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的证明；鲁津定理的证明。
应用：
函数可测的进一步判断；依测度收敛的判断及依测度收敛性质的进一步应用。

第四章  Lebesgue积分

一、学习目的与要求

通过本章的学习，应了解建立勒贝格（Lebesgue）积分的步骤和过程，即先定义非负简单函数的勒贝格积分，再由非负简单函数积分的极限定义非负可测函数的勒贝格积分，进而通过函数的正部、负部这两个非负函数定义一般函数的勒贝格积分；熟练掌握勒贝格（积分的基本性质，即可积函数的线性性、可积函数的几乎处处有限性、可积函数的绝对可积性、积分的绝对连续性、可积函数的可数可加性；熟练掌握勒贝格（Lebesgue）积分关于积分与极限交换的极限定理，即勒维（Levi）单调收敛定理、法都（Fadou）定理、逐项积分定理和控制收敛定理；理解函数黎曼（Riemann）可积的充分必要条件是函数有界，且几乎处处连续；理解并初步掌握黎曼积分与勒贝格积分的关系，并会运用这一关系熟练计算一些较为简单的可积函数的勒贝格积分；理解将重积分化为累次积分的富比尼（Fubini）定理；理解勒贝格积分较之黎曼（Riemann）积分的优越性。

二、考核知识点与考核目标

（一）重点
非负简单函数的勒贝格积分定义、狄利克莱函数的勒贝格积分；非负简单函数的勒贝格积分的基本性质，比如：的唯一性、单调性、线性、有限可加性、简单函数的勒贝格积分的极限性质；非负可测函数的勒贝格积分的定义；非负可测函数的勒贝格积分的基本性质，比如：唯一性、单调性、有限可加性；非负可测函数列的积分收敛性质，比如：勒维（Levi）单调收敛定理、逐项积分定理、法都（Fadou）定理；函数的正部、负部；一般可测函数的勒贝格积分的定义；函数勒贝格可积与正部、负部勒贝格可积的关系；一般可测函数的勒贝格积分的基本性质，比如：绝对可积性、积分的线性性、可积函数的几乎处处有限性、积分的绝对连续性；勒贝格控制收敛定理（包括有界控制收敛定理）；黎曼（Riemann）积分与勒贝格积分的关系。
识记：
狄利克莱函数的勒贝格（Lebesgue）积分；非负简单函数的勒贝格积分的基本性质；非负可测函数的勒贝格积分的基本性质；函数的正部、负部；函数勒贝格可积与正部、负部勒贝格可积的关系；非负可测函数列的积分收敛性质；一般可测函数的勒贝格积分的基本性质；勒贝格控制收敛定理（包括有界控制收敛定理）；黎曼（Riemann）积分与勒贝格积分的关系。
理解：
非负简单函数的勒贝格积分定义；非负可测函数的勒贝格积分的定义；一般可测函数的勒贝格积分的定义；非负简单函数的勒贝格积分的基本性质；非负可测函数的勒贝格积分的基本性质；非负可测函数列的积分收敛性质；函数勒贝格可积与正部、负部勒贝格可积的关系；一般可测函数的勒贝格积分的基本性质；勒贝格控制收敛定理（包括有界控制收敛定理）；黎曼（Riemann）积分与勒贝格（Lebesgue）积分的关系。
应用：
非负可测函数列的积分收敛性质的简单应用；勒贝格（Lebesgue）积分的基本性质的简单应用；勒贝格控制收敛定理的简单应用。

（二）次重点
维他利（Vitali）控制收敛定理；函数在一点的振幅；连续函数的等价条件；函数黎曼（Riemann）可积的充分必要条件。
识记：
维他利（Vitali）控制收敛定理；函数在一点的振幅；连续函数的等价条件；函数黎曼（Riemann）可积的充分必要条件。
理解：
维他利（Vitali）控制收敛定理；函数在一点的振幅；连续函数的等价条件；函数黎曼（Riemann）可积的充分必要条件。
应用：
维他利（Vitali）控制收敛定理的简单应用；函数黎曼（Riemann）可积的充分必要条件的简单应用。

（三）一般
函数族的等度连续；托尼（Tonelli）定理、富比尼（Fubini）定理；富比尼定理的简单应用（包括函数卷积及其性质、分布函数）
识记：
函数族的等度连续；托尼（Tonelli）定理；富比尼（Fubini）定理。
理解：
函数族的等度连续；托尼（Tonelli）定理、富比尼（Fubini）定理。
应用：
富比尼（Fubini）定理的简单应用。

第五章  微分与积分
一、学习目的与要求

通过本章的学习，应了解数学分析中的微积分基本定理，即牛顿—莱布尼兹公式，可以推广为勒贝格积分的情形；掌握有界变差函数、绝对连续函数的概念和基本性质；掌握单调函数与有界变差函数、有界变差函数与绝对连续函数的关系；了解单调函数的可微性、有界变差函数的可微性和绝对连续函数的可微性；理解对于勒贝格积分，牛顿—莱布尼兹公式成立的充分必要条件是被积函数是绝对连续的。

二、考核知识点与考核目标

（一）重点
有界变差函数的定义、变差、全变差、有界变差函数与有界函数的关系；有界变差函数的基本性质，比如：有界变差函数的线性性、有界变差函数列的极限性；变差函数、若当（Jordan）分解定理；绝对连续函数的定义、绝对连续函数与有界变差函数的关系、不定积分的定义、不定积分与绝对连续函数的关系、牛顿莱布尼兹公式。
识记：
有界变差函数的定义、变差、全变差、有界变差函数与有界函数的关系；有界变差函数的基本性质，比如：有界变差函数的线性性、有界变差函数列的极限性；变差函数、若当（Jordan）分解定理；绝对连续函数的定义、绝对连续函数与有界变差函数的关系、不定积分的定义、不定积分与绝对连续函数的关系、牛顿莱布尼兹公式。
理解：
有界变差函数与有界函数的关系；有界变差函数的基本性质；若当（Jordan）分解定理；绝对连续函数的定义、绝对连续函数与有界变差函数的关系；不定积分与绝对连续函数的关系。
应用：
有界变差函数的判定；绝对连续函数的判定。

（二）次重点
单调函数的可微性、变上限函数、变上限函数的可微性、有界变差函数的可微性；绝对连续函数的可微性；若当（Jordan）分解定理的简单应用。
识记：
单调函数的可微性、变上限函数、变上限函数的可微性、有界变差函数的可微性；绝对连续函数的可微性。
理解：
单调函数的可微性、变上限函数、变上限函数的可微性、有界变差函数的可微性；绝对连续函数的可微性。
应用：
若当（Jordan）分解定理的简单应用；单调函数、有界变差函数以及绝对连续函数的可微性的简单应用。

（三）一般
维他利（Vitali）覆盖、维他利（Vitali）覆盖定理、狄利（Dini）导数。
识记：
维他利（Vitali）覆盖、维他利（Vitali）覆盖定理、狄利（Dini）导数。
理解：
维他利（Vitali）覆盖、维他利（Vitali）覆盖定理、狄利（Dini）导数。
应用：
维他利（Vitali）覆盖定理的简单应用。

第三部分  有关说明与实施要求

一、考核的能力层次表述
本大纲在考核目标中，按照“识记”、“理解”、“应用”三个能力层次规定应达到的能力层次要求。各能力层次为递进等级关系，后者必须建立在前者的基础上，其含义是：
识记：能知道有关的名词、概念、知识的含义，并能正确认识和表述，是低层次的要求。
理解：在识记的基础上，能全面地把握基本概念、基本原理、基本方法，能掌握有关概念、原理、方法的区别与联系，是较高层次的要求。
应用：在理解的基础上，能运用基本概念、基本原理、基本方法联系学过的多个知识点分析和解决有关理论问题和实际问题，是最高层次的要求。

二、教材
1、指定教材：《实变函数》． 科学出版社， 第一版 （2006年）．编者：何穗、刘敏思、喻小培。
2、参考教材：《实变函数与泛函分析基础》．编者 程其襄等．高等教育出版社。
《实变函数论》（第三版）．编者 江泽坚、吴智泉．高等教育出版社。

三、自学方法指导
1、在开始阅读指定教材某一章之前，先翻阅大纲中有关这一章的考核知识点几对知识点的能力层次要求和考核目标，以便在阅读教材时做到心中有数，有的放矢。
2、阅读教材时，要逐段细读，逐句推敲，集中精力，吃透每一个知识点，对基本概念必须深刻理解，对基本原理必须彻底弄清，对基本方法必须牢固掌握。
3、在自学过程中，既要思考问题，也要做好阅读笔记，把教材中的基本概念、原理、方法等加以整理，这可从中加深对问题的认知、理解和记忆，以利于突出重点，并涵盖整个内容，可以不断提高自学能力。
4、完成书后作业和适当的辅导练习是理解、消化和巩固所学知识，培养分析问题、解决问题及提高能力的重要环节，在做练习之间，应认真阅读教材，按考核目标所要求的不同层次，掌握教材内容，在练习过程中对所学知识进行合理的回顾与发挥，注重理论联系实际和具体问题具体分析，解题时应注意培养逻辑性，针对问题围绕相关知识进行层次（步骤）分明的论述或推导，明确各层次（步骤）见的逻辑关系。

四、对社会助学的要求
1、应熟知考试大纲对课程提出的总要求和各章的知识点。
2、应掌握各知识点要求达到的能力层次，并深刻理解对各知识点的考核目标。
3、辅导时，应以考试大纲为依据，指定的教材为基础，不要随意增删内容，以免与大纲脱节。
4、辅导时，应对学习方法进行指导，宜提倡“认真阅读教材，刻苦钻研教材，主动争取帮助，依靠自己学通”的方法。
5、辅导时，要注意突出重点，对考生提出问题，不要有问即答，要积极启发引导。
6、注意对应考者能力的培养，特别是自学能力的培养，要引导考生逐步学会独立学习，在自学过程中善于提出问题，分析问题，做出判断，解决问题。
7、要使考生了解试题的难易与能力层次高低两者不完全是一回事，在各个能力层次中会存在着不同难度的试题。
8、助学学时：本课程共6 学分，建议总课时108 学时，其中助学课时分配如下：
章   次 内      容 学   时
第一章 集 合 34
第二章 测度论 18
第三章 可测函数 18
第四章 勒贝格积分 28
第五章 微分与积分 10
合       计 108

五、关于命题考试的若干规定
1、本大纲各章所提到的内容和考核目标都是考试内容。试题覆盖到章，适当突出重点。
2、试卷中对不同能力层次的试题比例大致是：“识记”为 20  %左右、 “理解”为 30  %左右、 “应用”不低于 50 %。
3、试题难易程度应合理：易、较易、较难、难比例为2：3：3：2。
4、每份试卷中，各类考核点所占比例约为：重点占60%，次重点占25%，一般占10%。
5、试题类型一般分为：单项选择题、多项选择题、填空题、简答题、计算题和证明题。
6、考试采用闭卷笔试，考试时间150分钟，采用百分制评分，60分合格。

六、题型示例（样题）

一．单项选择题
1．设 为有理数集，则                     【   】
Ａ．      Ｂ．       Ｃ． 为闭集      Ｄ． 为不可数集

二．多项选择题
2．若   的外测度为0，则              【      】
Ａ． 是可测集   Ｂ．    Ｃ． 一定是可数集   Ｄ． 一定不是可数集
Ｅ． 是空集或单元素集

三．填空题
3．设 为全集， ， 为 的两个子集，则           。

四．简答题
4. 简述无穷多个开集的交集是否必为开集。

五．计算题
5. 求 。

六．证明题
6. 证明   上的实值连续函数 必为 上的可测函数。